Question

【題目】已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為,且一個焦點坐標為(,0).

(1)求橢圓M的方程;

(2)設直線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點,求點O到直線l的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設橢圓的標準方程，已知離心率e= ，一個焦點（c，0）=（，0），結合a2=b2+c2，求得a,b,c的值，即可得橢圓方程;

（2）分類討論，當直線l的斜率存在時，得O到l的最小值為，當直線l的斜率不存在時，得最小值為1，綜合考慮，可知點O到l的最小值是.

(1)由題意可設橢圓的標準方程為=1(a>b>0),∴解得a=2,b=,

∴ 橢圓M的方程為=1.

當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+m,聯立

化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0

,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).

∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=.

∵點P在橢圓M上,∴=1.

∴=1,化簡得2m2=1+2k2,滿足Δ>0.

又點O到直線l的距離d==.

當且僅當k=0時取等號.

當直線l無斜率時,由對稱性可知:點P一定在x軸上,從而點P的坐標為(±2,0),直線l的方程為x=±1,∴點O到直線l的距離為1.

∴點O到直線l的距離的最小值為.