Question

過點P（2，1）的直線l與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B．
（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并寫出取最小值時直線l的方程；
（2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并寫出取最小值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出直線方程的截距式，用含有一個字母的代數式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；
（2）由兩點間的距離公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|•|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）設點A（a，0），B（0，b），則直線l：

x

a

+

y

b

=1(a，b＞0)
∵P（2，1）在直線l上，∴

2

a

+

1

b

=1，∴b=

a

a-2

，∵a，b＞0，∴a＞2．
u=|OA|+|OB|=a+b=a+

a

a-2

=a-2+

2

a-2

+3≥2

(a-2)• 2 a-2

+3=2

2

+3．
當且僅當a-2=

2

a-2

（a＞2），即a=2+

2

時等號成立．此時b=1+

2

．
∴umin=2

2

+3，此時l：

x

2+ 2

+

y

1+ 2

=1，即x+

2

y-2-

2

=0；
（2）由（1）知，v=|PA|•|PB|=

(a-2)2+1

•

(b-1)2+4

，
∵b-1=

a

a-2

-1=

2

a-2

，
∴v2=[(a-2)2+1]•[(

2

a-2

)2+4]=4(a-2)2+

4

(a-2)2

+8≥2

4(a-2)2• 4 (a-2)2

+8=16．
當且僅當(a-2)2=

1

(a-2)2

(a＞2)，即a=3時等號成立，此時b=3．
∴u_min=4，此時l：

x

3

+

y

3

=1，即x+y=3．

點評：本題考查了直線方程的應用，訓練了利用基本不等式求最值，解答的關鍵在于利用基本不等式求最值的條件，是中檔題．