Question

已知數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求證：數列{a_n}是等比數列；
③是否存在常數a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由“數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^{n（1-n）”}令n=1可求解．
（2）證明：由T_n=2^n（1-n）解得T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}兩式相除，整理可得數列{a_n}是等比數列；
（3）由（2）求解得sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4( 1 4 )n

3

再求得sn+1=

4

3

-

4( 1 4 )n+1

3

，sn+2=

4

3

-

4( 1 4 )n+2

3

代入（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）兩端驗證可即可．

解答：解：（1）∵數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1
（2）證明：∵T_n=2^n（1-n）．
∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．
將上面兩式相除，
得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．
∴a_n=

1

4

^（n-1）．
∵a_n+1=

1

4

^（n）．

an+1

an

=

1

4

∴數列{a_n}是等比數列；

（3）∵sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4( 1 4 )n

3

∴sn+1=

4

3

-

4( 1 4 )n+1

3

，sn+2=

4

3

-

4( 1 4 )n+2

3

∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）
∴（S_n+1-a）²=

16[( 1 4 )(2n+2)]

9

而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）=

16[( 1 4 )(2n+2)]

9

（S_n+1-

4

3

）²=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）對n∈N⁺都成立
即：存在常數a=

4

3

，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對n∈N⁺都成立．

點評：本題主要考查數列的類型和數列的通項公式和前n項和公式，還考查了存在性問題，這類問題一般通過具體的探究出來，再證明．