Question

已知用戶甲的電腦被某黑客乙入侵．黑客乙為了竊取甲的某重要帳戶的用戶名和密碼，在甲的電腦中植入了如右程序框圖所示的電腦程序，在甲每次登陸其重要帳戶之前，電腦先執行此程序，讓甲輸入其用戶名a，密碼d和一個隨機的驗證碼k（a、d、k均為正實數），因為甲的用戶名和密碼受到保護，所以乙每次只能看到驗證碼k和輸出結果S．某一天甲登陸了兩次其重要帳戶，乙看當到k=2時S=

1

3

，k=5時S=

4

9

．
（Ⅰ）乙能否由此信息確定甲重要帳戶的用戶名和密碼？若能確定，請求出a和d的值；若不能確定，請說明道理．
（Ⅱ）現記輸入的a值為a₁，在程序運行的過程中，以后變量a取到的值分別記為a₂，a₃…，這樣得到一個數列{a_n}，記數列{a_n}的前n項和為Q_n，b_n=2ⁿQ_n，，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）乙能由此信息確定甲重要帳戶的用戶名和密碼，通過已知條件，列出

a1(a1+d)=3 a1(a1+4d)=9

，求出a和d的值．
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出b_n=2ⁿQ_n的表達式，利用兩次錯位相減法，求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）能確定，記輸入的a值為a₁，在程序運行的過程中，以后變量a取到的值分別記為a₂，a₃…，
這樣得到一個數列{a_n}
當K=2時，S=

1

a1a2

=

1

3

；
當K=3時，S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+

1

a4a5

=

4

9

，
即

1

d

 (

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-…+

1

a4

-

1

a5

)=

4

9

，
由

1 a1a2 = 1 3 1 d ( 1 a1 - 1 a5 )= 4 9

，得

a1(a1+d)=3 a1(a1+4d)=9

，所以

a1=1 d=2

，即a=1，d=2（6分）
（Ⅱ）由（I）得Q_n=n²，n∈N^*，因此b_n=2ⁿ•n²，則
T_n=2•1+2²•2²+2³•3²+…+2ⁿ•n²，…①
2T_n=2²•1+2³•2²+2⁴•3²+…+2ⁿ⁺¹•n²，…②
①-②得-T_n=2•1+2²•（2²-1²）+2³•（3²-2²）+…+2ⁿ•[n²-（n-1）²]-2ⁿ⁺¹•n²，
不妨設M_n=2•1+2²•3+2³•5+…+2ⁿ•（2n-1），再利用錯位想減可得
M_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6，
所以-T_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6-2ⁿ⁺¹•n²，
T_n=2ⁿ⁺¹•（n-1）²+2ⁿ⁺²-6．（14分）

點評：本題通過循環結構，考查數列的遞推關系式的應用，數列求和的方法，考查分析問題解決問題的能力．