Question

如圖所示，已知圓O：x²+y²=1，直線l：y=kx+b（b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓

x2

2

+y2=1交于不同的兩點A、B．
（1）若△AOB的面積等于

2

3

，求直線l的方程；
（2）設△AOB的面積為S，且滿足

6

4

≤S≤

2 6

7

，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：解：（1）由三角形的面積公式，要分別求底即弦長，要求高即點到直線的距離．（2）由（1）知△AOB的面積模型，即有

6

4

≤

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

≤

2

7

6

可得

1

2

≤k2≤3而設A（x₁，y₁），B（x₂，y_2）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2由韋達定理，轉化為關系k²的函數求解．

解答：解：（1）由題意可知：

|b|

1+k2

=1∴b=

1+k2

（1分）
又

y=kx+b x2+2y2-2=0

得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0（2分）∴|AB|=

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

（3分）
而O到直線AB的距離為

|b|

1+k2

=1（4分）
則有

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

=

2

3

得k=±1（15分）
所求直線的方程為x-y+

2

=0或x+y-

2

=0．（6分）
（2）由題意可知

6

4

≤

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

≤

2

7

6

得

1

2

≤k2≤3（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b（10分）
根據韋達定理得：x1+x2=-

4kb

1+2k2

•x1x2=

2b2-2

1+2k2

代入上式得：

OA

•

OB

=

1+k2

1+2k2

∴

4

7

≤

OA

•

OB

≤

3

4

．（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，弦長公式，點到直線的距離以及建立函數模型的能力．