Question

（本小題滿分16分）

已知函數的圖象過點，且在點處的切線與直線垂直．

(1) 求實數的值；

(2) 求在 （為自然對數的底數）上的最大值；

(3) 對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？

Answer 1

（1）當時，，                            ………1分

由題意得：，即，                          ………3分

解得：。                                                     ………4分

（2）由（1）知：

①當時，，

解得；解得或

∴在和上單減，在上單增，

由得：或，                             ………6分

∵　，

∴在上的最大值為。                                        ………7分

②當時，，

當時，；當時，在單調遞增；

∴在上的最大值為。                                           ……9分

∴當時，在上的最大值為；

當時，在上的最大值為。                          …………10分

（3）假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側，不妨設，則，且。

∵是以為直角頂點的直角三角形

∴，即 （*）                           ……11分

是否存在等價于方程（*）是否有解。

①若，則，代入方程（*）得：，

即：，而此方程無實數解，從而，                     ………12分

∴，代入方程（*）得：，

即：，                                                 ………14分

設，則在恒成立，

∴在上單調遞增，從而，則的值域為。

∴當時，方程有解，即方程（*）有解。

∴對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上。                               ……16分