Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n＝3ⁿ－1.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝ (S_n＋1)，求數列{b_na_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）a_n＝2×3^n－1（2）－，n∈N^*

(1)當n＝1時，a₁＝S₁＝2，
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(3ⁿ－1)－(3^n－1－1)＝2×3^n－1，綜上所述，a_n＝2×3^n－1.
(2)b_n＝ (S_n＋1)＝3ⁿ＝－n，所以b_na_n＝－2n×3^n－1，
T_n＝－2×1－4×3¹－6×3²－…－2n×3^n－1，
3T_n＝－2×3¹－4×3²－…－2(n－1)×3^n－1－2n×3ⁿ，相減，得
－2T_n＝－2×1－2×3¹－2×3²－…－2×3^n－1＋2n×3ⁿ
＝－2×(1＋3¹＋3²＋…＋3^n－1)＋2n×3ⁿ，
所以T_n＝(1＋3¹＋3²＋…＋3^n－1)－n×3ⁿ＝－n×3ⁿ＝－，n∈N^*