Question

已知函數，且）．
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）若，方程f (x) ="2" a x有惟一解時，求的值。

Answer 1

（1）當k是奇數時,f(x)在(0,+)上是增函數 ；當k是偶數時,f(x)在是減函數,在是增函數  （2） 

(1)由已知得，x＞0且．
當k是奇數時,則,則f(x)在(0,+)上是增函數; ……（2分）
當k是偶數時,則,,　 ……（3分）
所以當x時,, 當x時,，
故當k是偶數時,f(x)在是減函數,在是增函數．……（5分）
（Ⅱ）若，則）
記g (x) = f (x) – 2ax = x² – 2 a xlnx – 2ax,
,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）
令,得，
（舍去）……（7分）
當時，,在是單調遞減函數；
當時，,在上是單調遞增函數。
當x=x₂時, ,   …………（8分）
有唯一解， 
則，即 ………（9分）
   …………（10分）
設函數，
∵在x>0時, h (x)是增函數，∴h (x) = 0至多有一解。
∵h (1) =" 0," ∴方程(*)的解為x₂ = 1，即，解得。…………（12分）