Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.　　　　 (Ⅰ)證明：BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)設二面角C－NB₁－C₁的平面角為，求cos的值；

(Ⅲ)M為AB中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長;若不存在，請說明理由.

　　

Answer 1

本題主要考查三視圖,線面位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，探索運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.，以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,……1分

則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0，  =(4,4,0)·(0,0,4)=0   ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N;    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一個，法向量=(4,4,0),    ……5分，

設=(x,y,z)為平面NCB₁的一個法向量,

則，取=(1,1,2),   …7分

則cosθ===;     ……9分

(Ⅲ)∵M(2,0,0).設P(0,0,a)為BC上一點,則=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,

∴⊥·=(-2,0,a) ·(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.   ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴當BP=1時MP∥平面CNB₁.     ……14分

法二:(Ⅰ)證明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N，又B₁C₁與B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)過N作NQB₁C₁,則BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,則CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延長BA、B₁N交于R,連結CR,∵MP∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A為RB中點,

∴==,∴BP=1,因此存在P點使MP∥平面CNB₁.  ……14分