Question

已知函數f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、(-∞，-

  3

  ]∪[

  3

  ，+∞)
• B、[-

  3

  ，

  3

  ]
• C、(-∞，-

  3

  )∪(

  3

  ，+∞)
• D、(-

  3

  ，

  3

  )

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出導函數，導函數為開口向下的拋物線，因為函數在R上為單調函數，所以導函數與x軸沒有交點，即△小于等于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=-x³+ax²-x-1，得到f′（x）=-3x²+2ax-1，
因為函數在（-∞，+∞）上是單調函數，
所以f′（x）=-3x²+2ax-1≤0在（-∞，+∞）恒成立，
則△=4a2-12≤0?-

3

≤a≤

3

，
所以實數a的取值范圍是：[-

3

，

3

]．
故選B

點評：此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題．