Question

已知數列的通項公式是，數列是等差數列，令集合

，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為．

（1）若，，求數列的通項公式；

（2）若，數列的前5項成等比數列，且，，求滿足

的正整數的個數．

Answer 1

解：（1）若，因為5，6，7 ，則5，6，7，

由此可見，等差數列的公差為1，而3是數列中的項，

所以3只可能是數列中的第1，2，3項，

若，則， 若，則，

若，則.          

（2）首先對元素2進行分類討論：

①若2是數列的第2項，由的前5項成等比數列，

得，這顯然不可能；

    ②若2是數列的第3項，由的前5項成等比數列，得，

    因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的，

    所以，則，因此數列的前5項分別為1，，2，，4，

    這樣，則數列的前9項分別為1，，2，，4，，，，8，  上述數列符合要求；

③若2是數列的第項（），則，即數列的公差，  所以，1，2，4<，所以1，2，4在數列的前8項中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項，它們均小于8，

即數列的前9項均小于8，這與矛盾。

綜上所述，，-

其次，當時， ， ，，

當時， ，因為是公差為的等差數列，

所以，

所以，

此時的不符合要求。所以符合要求的一共有5個。-