Question

某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件.
（1）將一星期的商品銷售利潤表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

（1）；（2）當即商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大.

試題分析：（1）先寫出多賣的商品數，則可計算出商品在一個星期的獲利數，再依題意：“商品單價降低1元時，一星期多賣出5件”求出比例系數，即可得一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；（2）根據（1）中得到的函數，利用導數研究其極值，也就是求出函數的極大值，從而得出定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大.
試題解析：（1）依題意，設，由已知有，從而
                      3分

              7分
（2）         9分
由得，由得或
可知函數在上遞減，在遞增，在上遞減        11分
從而函數取得最大值的可能位置為或是
，
當時，                     13分
答：商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大      14分.