Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改寫為m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，所以直線必經過直線2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點．由方程組 解得 即兩直線的交點為A（3，1），

又因為點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離 ，

所以該點在C內，故不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交

（2）解：連接AC，當直線l是AC的垂線時，此時的直線l與圓C相交于B、D．BD為直線l被圓所截得的最短弦長．此時， ，所以 ．即最短弦長為 ．

又直線AC的斜率 ，所以直線BD的斜率為2．

此時直線方程為：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0

【解析】（1）要證直線l無論m取何實數與圓C恒相交，即要證直線l橫過過圓C內一點，方法是把直線l的方程改寫成m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，直線l一定經過直線2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交點，聯立兩條直線的方程即可求出交點A的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出AC之間的距離d，判斷d小于半徑5，得證；（2）根據圓的對稱性可得過點A最長的弦是直徑，最短的弦是過A垂直于直徑的弦，所以連接AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D，弦BD為最短的弦，接下來求BD的長，根據垂徑定理可得A是BD的中點，利用（1）圓心C到BD的距離其實就是|AC|的長和圓的半徑|BC|的長，根據勾股定理可求出 |BD|的長，求得|BD|的長即為最短弦的長；根據點A和點C的坐標求出直線AC的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率乘積為﹣1求出直線BD的斜率，又直線BD過A（3，1），根據斜率與A點坐標即可寫出直線l的方程．