Question

（本小題滿分14分）
已知雙曲線的一個焦點為(,0),一條漸近線方程為,其中
是以4為首項的正數數列,記.
(Ⅰ)求數列的通項公式; 
(Ⅱ)若數列的前n項的和為S_n,求;
(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)對一切自然數n恒成立,求實數x的取值范圍.

Answer 1

解: (Ⅰ)∵雙曲線方程為的一個焦點為(,0),∴.
又∵一條漸近線方程為,∴.∴=2.
∵a₁=4,∴是以4為首項的等比數列,a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.
(Ⅱ) S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ－1).
∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,
∴
∴
(Ⅲ)T=,①
T=,②
①－②得T=,
故原不等式等價于 (n∈N^*)恒成立,即恒成立,
∴≥0恒成立,
故(ⅰ)當a>1時,x≥1.(ⅱ)當0<a<1時,0<x≤1.

略