Question

已知函數．
（I）判斷的奇偶性；
（Ⅱ）設函數在區間上的最小值為，求的表達式；
（Ⅲ）若，證明：方程有兩個不同的正數解．

Answer 1

（I）既不是奇函數也不是偶函數
（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

（1）對參數a進行討論，利用奇偶函數的定義，即可得出結論；
（2）當時，，然后轉化為二次函數軸動區間定的最值問題來研究即可.
（3）利用圖像法，把方程根的個數轉化為兩個函數圖像交點的個數來研究.
當，若時，，方程可化為即．

y

令，在同一直角坐標系中作出函數，在時的圖像從圖像確定函數與的圖像在第四象限有兩個不同交點,從而證明方程有兩個不同的正數解.

解：（I）時，是奇函數；……（1分）
時，既不是奇函數也不是偶函數．……（2分）
（II）當時，，函數圖像的對稱軸為直線．（3分）
當，即時，函數在上是增函數，所以；
當，即時，函數在上是減函數，在上是增函數，
所以；……（5分）
當，即時，函數在上是減函數，
所以．……（6分）
綜上， ．……（7分）
（III）證法一：
若，則時，，方程可化為，
即．……（8分）
令，，在同一直角坐標系中作出函數 在時的圖像…（9分）

因為，，所以，即當時
函數圖像上的點在函數圖像點的上方．……（11分）
所以函數與的圖像在第一象限有兩個不同交點．
即方程有兩個不同的正數解．…………（12分）
證法二：
若，則時，，方程可化為，
即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐標系中作出函數，在時的圖像．（9分）

因為，，所以，
即當時，函數圖像上的點在函數圖像點的上方．…………（11分）
所以函數與的圖像在第四象限有兩個不同交點．
所以方程有兩個不同的正數解．…………（12分）