Question

（普通班做） 設函數f（x）=lnx+x²+ax．若f（x）在其定義域內為增函數，則a的取值范圍為

[-2

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）在其定義域內為增函數可轉化成只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關系，解之即可．

解答：解：f（x）的定義域為（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
①當△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

時，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，此時f（x）為增函數．
②當△＞0，即 a＜-2

2

或 a＞2

2

時，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內為增函數，
只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0即可，
設h（x）=2x²+ax+1，
由 

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所以 a＞2

2

．
由①②可知，若f（x）在其定義域內為增函數，a的取值范圍是[-2

2

，+∞）．
故答案為：[-2

2

，+∞）．

點評：本題以函數為載體，主要考查了利用導數研究函數的單調性和不等式的證明，屬于中檔題．