Question

某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y（萬元）與年產量x（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為y=

x2

5

-48x+8000，已知此生產線年產量最大為210噸．
（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）利用總成本除以年產量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入減去總成本表示出年利潤；通過配方求出二次函數的對稱軸；由于開口向下，對稱軸處取得最大值．

解答：解：（1）設每噸的平均成本為W（萬元/T），
則 W=

y

x

=

x

5

+

8000

x

-48≥2

x 5 • 8000 x

-48=32（0＜x＜210），（4分）
當且僅當

x

5

=

8000

x

，x=200（T）時每噸平均成本最低，且最低成本為32萬元．（6分）
（2）設年利潤為u（萬元），則 u=40x-(

x2

5

-48x+8000)=-

x2

5

+88x-8000=-

1

5

(x-220)2+1680．（11分）
所以當年產量為210噸時，最大年利潤1660萬元．（12分）

點評：本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值需滿足：一正、二定、三相等、考查求二次函數的最值關鍵看對稱軸．