Question

已知△AOB的頂點A在射線l：y=

3

x(x＞0)上，A，B兩點關于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3．當點A在l上移動時，記點M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設P（-1，0），Q（2，0），求證：∠MQP=2∠MPQ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B兩點關于x軸對稱，得到AB邊所在直線與y軸平行．設M（x，y），由題意得出x，y之間的關系即為點M的軌跡W的方程．
（Ⅱ）先設M（x₀，y₀）（x₀＞0），因為曲線x2-

y2

3

=1(x＞0)關于x軸對稱，所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．

解答：（Ⅰ）解：因為A，B兩點關于x軸對稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設M（x，y），由題意，得A(x，

3

x)， B(x，-

3

x)，
所以|AM|=

3

x-y， |MB|=y+

3

x，
因為|AM|•|MB|=3，
所以(

3

x-y)×(y+

3

x)=3，即x2-

y2

3

=1，
所以點M的軌跡W的方程為x2-

y2

3

=1(x＞0)．
（Ⅱ）證明：設M（x₀，y₀）（x₀＞0），
因為曲線x2-

y2

3

=1(x＞0)關于x軸對稱，
所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，∠MQP=2∠MPQ”成立即可．
以下給出“當y₀≥0時，∠MQP=2∠MPQ”的證明過程．
因為點M在x2-

y2

3

=1(x＞0)上，所以x₀≥1．
當x₀=2時，由點M在W上，得點M（2，3），
此時MQ⊥PQ，|MQ|=3，|PQ|=3，
所以∠MPQ=

π

4

， ∠MQP=

π

2

，則∠MQP=2∠MPQ；
當x₀≠2時，直線PM、QM的斜率分別為kPM=

y0

x0+1

， kQM=

y0

x0-2

，
因為x₀≥1，x₀≠2，y₀≥0，所以kPM=

y0

x0+1

≥0，且kPM=

y0

x0+1

≠1，
又tan∠MPQ=k_PM，所以∠MPQ∈(0，

π

2

)，且∠MPQ≠

π

4

，
所以tan2∠MPQ=

2tan∠MPQ

1-(tan∠MPQ)2

=

2× y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2y0(x0+1)

(x0+1)2- y 2 0

，
因為點M在W上，所以

x

2 0

-

y 2 0

3

=1，即y₀²=3x₀²-3，
所以tan2∠MPQ=

2y0(x0+1)

(x0+1)2-(3 x 2 0 -3)

=-

y0

x0-2

，
因為tan∠MQP=-k_QM，
所以tan∠MQP=tan2∠MPQ，
在△MPQ中，因為∠MPQ∈(0，

π

2

)，且∠MPQ≠

π

4

，∠MQP∈（0，π），
所以∠MQP=2∠MPQ．
綜上，得當y₀≥0時，∠MQP=2∠MPQ．
所以對于軌跡W的任意一點M，∠MQP=2∠MPQ成立．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸思想．屬于中檔題．