Question

如下圖，已知兩點P₁(4，9)和P₂(6，3)，

(1)求以P₁P₂為直徑的圓的方程；

(2)試判斷點M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上、在圓內、還是在圓外？

(3)求以P₁為圓心，|P₁P₂|為半徑的圓，并判斷點M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上、圓內、還是圓外？

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解法一：設圓心C(a，b)，半徑r，則由C為P₁P₂的中點得a＝＝5，b＝＝6．

　　又由兩點間的距離公式得r＝|CP₁|＝．

　　∴所求圓的方程為(x－5)²＋(y－6)²＝10．

　　解法二：∵半圓上的圓周角是直角，

　　∴對于圓上任一點P(x，y)，有PP₁⊥PP₂．·＝－1，即＝－1．

　　化簡得x²＋y²－10x－12y＋51＝0，顯然當點P與P₁、P₂重合時，也滿足上述方程．綜上，可知(x－5)²＋(y－6)²＝10為所求圓的方程．

　　(2)解：分別計算點到圓心的距離：|CM|＝；

　　|CN|＝；

　　|CQ|＝．

　　因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內．

　　(3)解：由兩點間的距離公式，得r＝|P₁P₂|＝．

　　所以以P₁為圓心，以|P₁P₂|為半徑的圓的方程為(x－4)²＋(y－9)²＝40．

　　∵(6－4)²＋(9－9)²＝4＜40，(3－4)²＋(3－9)²＝37＜40，(5－4)²＋(3－9)²＝37＜40．

　　∴點M、N、Q都在圓內．

　　思路分析：對于本題中圓的方程可從兩個角度來考慮：(1)從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數法解決(解法一)．(2)從圖形上動點P的性質考慮，用求曲線方程的一般方法解決(解法二)．

提示：

　　解法一從圓的兩個要素入手，確定出圓心和半徑，解法二則從動點的幾何特征入手，將圓周角為直角這一特征用坐標加以表示．對于本題還可通過直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質列方程求解．

　　另外，本題也可直接套用公式，即以點P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)為直徑端點的圓的方程為(x－x₁)(x－x₂)＋(y－y₁)(y－y₂)＝0．