Question

已知向量

m

=(-2sin(π-x)，cosx)，

n

=(

3

cosx，2sin(

π

2

-x)，函數f(x)=1-

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積和兩角和的正弦公式即可得出；
（2）利用正弦函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=-2sin(π-x)

3

cosx+2cosxsin（

π

2

-x）
=-2

3

sinxcosx+2cos²x
=-

3

sin2x+cos2x+1，
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）．
解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

6

，
∵取k=0和1 且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

11π

6

≤x≤π，
∴f（x）的單調遞增區間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．

點評：本題考查了向量的數量積和兩角和的正弦公式、正弦函數的單調性，屬于中檔題．