Question

【題目】如圖，已知橢圓的左右頂點分別是，離心率為，設點，連接交橢圓于點，坐標原點是．

（1）證明： ；

（2）設三角形的面積為，四邊形的面積為， 若 的最小值為1，求橢圓的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據離心率為，可得，聯立直線與橢圓的方程即可求出點的坐標，從而可得直線的斜率，再根據直線的斜率，即可證明；（2）由（1）知， ，根據的最小值為1，即可求出的值，從而求出橢圓的標準方程.

試題解析：（1）由 得， .

∴ ，即 .

∴橢圓的方程為 ，

由，整理得： ，由 可得 ， 則點的坐標是，故直線的斜率為

∵直線的斜率為

∴

∴.

（2）由（1）知， ， ∴.

∴當時，

∴ ，

∴橢圓方程為.