Question

已知是實系數方程的虛根，記它在直角坐標平面上的對應點為.

   （1）若在直線上，求證：在圓：上；

   （2）給定圓：（，），則存在唯一的線段滿足：①若在圓上，則在線段上；② 若是線段上一點（非端點），則在圓上. 寫出線段的表達式，并說明理由；

   （3）由（2）知線段與圓之間確定了一種對應關系，通過這種對應關系的研究，填寫表一（表中是（1）中圓的對應線段）.

    表一：

線段與線段的關系	的取值或表達式
所在直線平行于所在直線
所在直線平分線段
線段與線段長度相等

Answer 1

證明：（1）由題意可得 ，解方程，得

，                                       

     點或，

    將點代入圓的方程，等號成立，

     在圓：上.                                  

（2）解法一：當，即時，解得，

     點或，                    

    由題意可得，整理后得 ， 

    ，，

    .                                         

     線段為： ，.          

若是線段上一點（非端點），則實系數方程為

.

此時，且點、在圓上.                                                                

    解法二：設是原方程的虛根，則，

解得

    由題意可得，.      ③

    解①、②、③ 得 .                               

   以下同解法一

.解（3）表一

線段與線段的關系	的取值或表達式	得分
所在直線平行于所在直線	，	12分
所在直線平分線段	，	15分
線段與線段長度相等		18分