Question

已知等比數列{a_n}中，a_n > 0，公比q∈(0,1)， 且a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25， a₃與a₅的等比中項為2.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解：(1)∵a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25，∴a₃²＋2a₃a₅＋a₅²＝25， 
∴(a₃＋a₅)²＝25， 又a_n>0，∴a₃＋a₅＝5，
又a₃與a₅的等比中項為2，  ∴a₃a₅＝4.
而q∈(0,1)，   ∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，  
∴q＝，a₁＝16，  ∴a_n＝16×()^n－1＝2^5－n.
(2)∵b_n＝log₂a_n＝5－n，   ∴b_n＋1－b_n＝－1，  b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，
∴{b_n}是以b₁＝4為首項，－1為公差的等差數列，    ∴S_n＝.

解析