Question

（本小題滿分14分） 對函數Φ（x），定義f_k（x）＝Φ（x－mk）＋nk（其中x∈（mk，

m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數）為Φ（x）的第k階階梯函數，m叫做階寬，n叫做階高，已知階寬為2，階高為3．

（1）當Φ（x）＝2^x時  ①求f₀（x）和f_k（x）的解析式；  ②求證：Φ（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線；

（2）若Φ（x）＝x²，則是否存在正整數k，使得不等式f_k（x）＜（1－3k）x＋4k²＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）①

②略

（2）①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意。

【解析】解：（I）①                            …………2分

…………4分

②時是增函數，

的第k階階梯函數圖象的最高點為

第k+1階階梯函數圖象的最高點為

∴過P_k，P_k+1這兩點的直線斜率為

同是可得過兩點的直線斜率也為

的各階階梯函數圖象的最高點共線。 …………8分

   （II）當

即

得                    …………9分

當k=1時，無解；                            …………10分

當時，由，得

              …①…………11分

又由                …②             

         …………13分

∴①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意。              …………14分