Question

已知圓,圓內有定點,圓周上有兩個動點，，使，則矩形的頂點的軌跡方程為．

Answer 1

解析試題分析：設A（），B（），Q（），又P（1，1），
則，，＝()，
＝()．
由PA⊥PB，得
•＝0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x+1+y+1-2=x+y①
又∵點A、B在圓上，∴x₁²+y₁²＝x₂²+y₂²＝4②
再由|AB|=|PQ|，得(x₁?y₁)²+(x₂?y₂)²＝(x?1)²+(y?1)²，
整理得：x₁²+y₁²+x₂²+y₂²?2(x₁y₁+x₂y₂)＝(x?1)²+(y?1)²③
把①②代入③得：x²+y²=6．
∴矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程為：x²+y²=6．
故答案為：x²+y²=6．.
考點：直線與圓．