Question

若函數y=sinx+cosx的定義域為[a，b]，值域為[-1，

2

]，則b-a的取值范圍是（　　）

• A．[

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ]
• B．[

  π

  2

  ，π]
• C．[

  3π

  4

  ，

  3π

  2

  ]
• D．[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]

Answer 1

分析：依題意，可求得a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，利用正弦函數的性質即可求得答案．

解答：解：∵y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
又a≤x≤b，
∴a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，
又-1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1．
在正弦函數y=sinx的一個周期內，要滿足上式，
則-

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴（b-a）_max=

5π

4

-（-

π

4

）=

3π

2

，
（b-a）_min=

5π

4

-

π

2

=

3π

4

．
故選C．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，突出考查正弦函數的單調性，由-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1探究x+

π

4

的范圍是關鍵，也是難點，考查分析與思維能力，屬于難題．