Question

（本題滿分14分）
已知函數(shù),,和直線： .
又. 
(1)求的值；
(2)是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在,說明理由.
(3)如果對于所有的,都有成立，求k的取值范圍.

Answer 1

（1）=－2.
（2）
(3)

解：（1）,因為所以=－2.   …………2分
(2)因為直線恒過點（0，9）.先求直線是 的切線.
設切點為, …………3分
∵.∴切線方程為,
將點（0，9）代入得.
當時，切線方程為="9," 當時，切線方程為=.
由得，即有
當時，的切線，
當時， 的切線方程為…………6分
是公切線，又由得或，
當時的切線為，當時的切線為，
，不是公切線， 綜上所述 時是兩曲線的公切線  ……7分
(3).（1）得，當，不等式恒成立，.
當時，不等式為，……8分
而
當時，不等式為， 
當時,恒成立，則         …………10分
（2）由得
當時，恒成立，，當時有 
設=，
當時為增函數(shù)，也為增函數(shù)

要使在上恒成立，則        …………12分
由上述過程只要考慮，則當時=
在時，在時
在時有極大值即在上的最大值，…………13分
又，即而當,時，
一定成立，綜上所述.   …………14分