Question

設數列的前n項和為S_n，滿足，且、、成等差數列。
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數n，有。

Answer 1

解析：（Ⅰ）由，解得。
（Ⅱ）由可得（），
兩式相減，可得，即，
即，
所以數列（）是一個以為首項，3為公比的等比數列
由可得，，
所以，即（），
當時，，也滿足該式子，
所以數列的通項公式是。
（Ⅲ）因為，
所以，
所以，
于是。