Question

【題目】如圖，在三棱柱中，各個側面均是邊長為的正方形，為線段的中點

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求證：直線∥平面；

（Ⅲ）設為線段上任意一點，在內的平面區域（包括邊界）是否存在點，使，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）充分利用正三棱柱的性質得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再證明BD垂直于AC即可；

（2）連接B1C交BC1于O，連接OD，D為AC 中點，得到AB1∥OD，利用線面平行的判定定理可得；

（3）在△BC1D內的平面區域（包括邊界）存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C1D上；只要利用線面垂直的判定定理和性質定理證明．

（）證明：∵三棱柱中，各個側面均是邊長為的正方形，

∴，，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又底面為等邊三角形，為線段的中點，

∴，

又，

∴平面．

（）證明：連接交于，連接，則為的中點，

∵是的中點，

∴，

又平面，平面，

∴直線平面．

（）在內的平面區域（包括邊界）存在點，使，此時在線段上，

證明如下：過作交線段與，

由（）可知，平面，而平面，

∴，

由，，得平面，

∵平面，

∴．