Question

設公差不為0的等差數列{a_n}的首項為1，且a₂，a₅，a₁₄構成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），由a₂，a₅，a₁₄構成等比數列得關于d的方程，解出d后利用等差數列的通項公式可得a_n；
（Ⅱ）由條件可知，n≥2時，

bn

an

=1-

1

2n

-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

，再由（Ⅰ）可求得b_n，注意驗證n=1的情形，利用錯位相減法可求得T_n；

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄構成等比數列，
∴a52=a₂a₁₄，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由已知，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，
當n=1時，

b1

a1

=

1

2

；
當n≥2時，

bn

an

=1-

1

2n

-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，
則

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．
兩式相減，得

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查等差數列等比數列的綜合應用、錯位相減法對數列求和，屬中檔題．