Question

在△ABC中，

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求S_△ABC．
（2）求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）根據數量積公式求，求出角A，利用余弦定理求出b，即可求S_△ABC．
（2）直接帶入即可求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
∴

m

•

n

=2cos²A-2

3

sinAcosA=1+cos2A-

3

sin2A=1+2cos（2A+

π

3

）=-1，
即2cos（2A+

π

3

）=-2，cos（2A+

π

3

）=-1，
則2A+

π

3

=π，解得A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+4-2b，即b²-2b-8=0，
解得b=4或b=-2（舍），
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

．
（2）由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，則sinC=

csinA

a

=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵c＜a，∴C=

π

6

，
則

b-2c

2cos( π 3 +C)

=

4-2×2

2cos( π 3 +C)

=0

點評：本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積的計算，利用數量積以及輔助角公式是解決本題的關鍵，涉及的知識點較多，綜合性較強．