Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)）

（1）當時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有對稱中心為A（1，0），求證：函數(shù)的切線在切點處穿過圖象的充要條件是恰為函數(shù)在點A處的切線。（直線穿過曲線是指：直線與曲線有交點，且在交點左右附近曲線在直線異側(cè)）

Answer 1

解：（1）設(shè)

所以

令：

所以：當時，在是增函數(shù)最小值為，滿足。

      當時，在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)

所以：最小值，故不合題意。

所以：實數(shù)的取值范圍是：             ┄┄┄┄┄┄┄ 6分

（2）因為關(guān)于A（1，0）對稱，則是奇函數(shù)，所以

所以 ，則

若為A點處的切線則其方程為：

令，

所以為增函數(shù)，而所以直線穿過函數(shù)的圖象。┄┄┄┄┄ 9分

若是函數(shù)圖象在的切線，則方程：

設(shè)，

則

令得：

當時：

從而處取得極大值，而，

則當時，所以圖象在直線的同側(cè)

所在不能在穿過函數(shù)圖象，

所以不合題意，同理可證也不合題意。

所以（前面已證）所以即為點。、

所以原命題成立。