Question

學校體育節擬舉行一項趣味運動比賽，選手進入正賽前通過“海選”，參加海選的選手可以參加A、B、C三個測試項目，只需通過一項測試即可停止測試，通過海選．若通過海選的人數超過預定正賽人數，則優選考慮參加海選測試次數少的選手進入正賽．甲同學通過項目A、B、C測試的概率分別為

1

4

，

1

3

，

1

2

且通過各次測試的事件相互獨立．
（1）若甲同學先測試A項目，再測試B項目，后測試C項目，求他通過海選的概率；若改變測試順序，對他通過海選的概率是否有影響？說明理由．
（2）若甲同學按某種順序參加海選測試，第一項能通過的概率為P₁，第二項能通過的概率為P₂，第三項能通過的概率為P₃，設他通過海選時參加測試的次數為ξ，求ξ的分布列和期望（用P₁P₂P₃表示）；試說明甲同學按怎樣的測試順序更有利于他進入正賽．

Answer 1

分析：（1）求出甲同學不能通過海選的概率，利用對立事件的概率公式，可求甲同學能通過海選的概率；若改變測試順序，對他通過海選的概沒有影響，因為無論按什么順序，甲同學不能通過海選的概率不變；
（2）ξ的可能取值為1，2，3，求出相應概率，可得分布列與期望；利用參加海選測試次數少的選手進入正賽，可得結論．

解答：解：（1）依題意，甲同學不能通過海選的概率為（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

∴甲同學能通過海選的概率為1-

1

4

=

3

4

若改變測試順序，對他通過海選的概沒有影響，因為無論按什么順序，甲同學不能通過海選的概率為（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

，∴甲同學能通過海選的概率為1-

1

4

=

3

4

（2）ξ的可能取值為1，2，3
P（ξ=1）=p₁，P（ξ=2）=（1-p₁）p₂，P（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）p₂
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）p2

∴Eξ=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）p₂，
∵參加海選測試次數少的選手進入正賽，
∴該同學選擇將自己的優勢項目放在前面，即按CBA的順序參加測試時，Eξ最小．

點評：本題考查獨立事件，考查分布列與期望，確定變量的取值與概率是關鍵．