Question

用數學歸納法證明：

（1）n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²；

（2）2²+4²+6²+…+（2n）²=.

Answer 1

證明一：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

（2）假設當n=k時，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，那么（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+［3（k+1）-2］

=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）-k+（3k-1）+3k+（3k+1）

=（2k-1）²+8k=（2k+1）².

這就是說當n=k+1時，等式也成立.根據（1）和（2），可知等式對任何n∈N^*都成立.

證明二：（1）當n=1時，左邊=4，右邊==4，等式成立.

（2）假設當n=k時，等式成立，就是2²+4²+（2k）²=,那么

2²+4²+…+（2k）²+［2（k+1）］²

=+4（k+1）²

=2（k+1）［+2（k+1）］

=.

這就是說，當n=k+1時等式也成立.根據（1）和（2），可知等式對任何n∈N^*都成立.