Question

已知圓的內接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，則四邊形ABCD的外接圓半徑R的值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：畫出四邊形ABCD，連接BD，在三角形ABD和三角形BCD中，分別利用余弦定理表示出cosA與cosC，根據(jù)A與C互補，得到cosA=-cosC，求出BD的長，進而求出cosA的值，得到sinA的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出四邊形ABCD外接圓半徑R的值．

解答： 解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
連接BD，在△ABD中，AB=2，AD=4，
利用余弦定理得：cosA=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

4+16-BD2

16

，
在△BCD中，BC=6，CD=4，
利用余弦定理得：cosC=

BC2+CD2-BD2

2BC•CD

=

36+16-BD2

48

，
∵圓內接四邊形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，即cosA=-cosC，
∴

20-BD2

16

=-

52-BD2

48

，
整理得：BD=2

7

，
∴cosA=

20-28

16

=-

1

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
利用正弦定理得：

BD

sinA

=2R，
則R=

BD

2sinA

=

2 7

2× 3 2

=

2 21

3

．
故答案為：

2 21

3

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及圓內接四邊形的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．