Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，PA與BC成60°角．
（1）求證：CD=2PD=2；
（2）求側面PAD與側面PBC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）作DE⊥PB于E，由平面PBC⊥平面PBD，得DE⊥BC．由PD⊥BC，PD∩DE=D，得BC⊥BD．由AB=AD=1，AB∥CD，知∠CDB=∠DBA=45°，BC=BD=

2

，CD=2，取CD中點F，連接AF，PF，則∠PAF為PA與BC所成的角，故∠PAF=60°，Rt△ADP≌Rt△FDP，知△PAF為等邊三角形，由此能夠證明CD=2PD=2．
（2）延長DA，CB交于G，連接PG，則PG是所求二面角的棱．作DH⊥PG于H，連接CH，根據二垂線定理，CH⊥PG，∠CHD是側面PAD與側面PBC所成二面角的平面角，由此能求出側面PAD與側面PBC所成銳二面角的大小．
方法二：
（1）建立空間直角坐標系，設CD=a，PD=b，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，b）．設BD中點為M（

1

2

，

1

2

，0），則AM⊥平面PBD，所以

AM

=(-

1

2

，

1

2

，0)是平面PBD的一個法向量．由

BC

=（-1，a-1，0），

PC

=（0，a，-b），得平面PBC的法向量n=（a-1，1，

a

b

）．由此能證明CD=2PD=2．
（2）由平面PBC的法向量為n=（1，1，2），

AB

=（1，0，0）是平面PAD的法向量，能求出側面PAD與側面PBC所成銳二面角的大小．

解答：方法一：
（1）證明：作DE⊥PB于E，
∵平面PBC⊥平面PBD，
∴DE⊥平面PBC，得DE⊥BC．
∵PD⊥BC，PD∩DE=D，
∴BC⊥平面PBD，得BC⊥BD．
∵AB=AD=1，AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA=45°，
BC=BD=

2

，CD=2，
取CD中點F，連接AF，PF，
則AF∥BC，
∠PAF為PA與BC所成的角，
∴∠PAF=60°，
∵Rt△ADP≌Rt△FDP，
∴PA=PF，
∴△PAF為等邊三角形，
∴PD=AD=DF=1．
∴CD=2PD=2．
（2）解：延長DA，CB交于G，連接PG，則PG是所求二面角的棱．
作DH⊥PG于H，連接CH，根據二垂線定理，CH⊥PG，
∴∠CHD是側面PAD與側面PBC所成二面角的平面角，
PD=1，GD=2，DH=

2

5

，CD=2，tan∠CHD=

5

，
∴側面PAD與側面PBC所成銳二面角的大小為arctan

5

；
方法二：
（1）建立空間直角坐標系如圖，
設CD=a，PD=b，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，b）．
設BD中點為M（

1

2

，

1

2

，0），
則AM⊥平面PBD，
所以

AM

=(-

1

2

，

1

2

，0)是平面PBD的一個法向量．

BC

=（-1，a-1，0），

PC

=（0，a，-b），
設n=（x，y，z）是平面PBC的法向量，則
-x+（a-1）y=0，且ay-bz=0，
令y=1，則x=a-1，z=

a

b

，
n=（a-1，1，

a

b

）．
∵平面PBC⊥平面PBD，
∴

AM

•n=-

1

2

(a-1)+

1

2

=0，
得a=2.

BC

=（-1，1，0），

PA

=（1，0，-b），
cos 60°=

| BC • PA |

| BC || PA |

=

1

2 × 1+b2

=

1

2

，
解得b=1．所以，CD=2PD=2；
（2）由（1）知，平面PBC的法向量為n=（1，1，2），

AB

=（1，0，0）是平面PAD的法向量，
設平面PAD與平面PBC所成的銳二面角為θ，
則cosθ=

|n• AB |

|n|| AB |

=

1

6

=

6

6

．
∴側面PAD與側面PBC所成銳二面角的大小為arccos

6

6

．

點評：本題考查CD=2PD=2的證明和求側面PAD與側面PBC所成的銳二面角的大小．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，把立體問題轉化為平面問題．注意向量法的合理運用．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．