Question

（2011•西城區一模）已知數列{a_n}的各項均為正整數，S_n為其前n項和，對于n=1，2，3，…，有an+1=

3an+5  an為奇數 an 2k    an為偶數．其中k為使an+1為奇數的正整數

，當a₃=5時，a₁的最小值為

5

；當a₁=1時，S₁+S₂+…+S₂₀=

910

．

Answer 1

分析：解：由題設知，當a₃=5時，

a2

2k

=5，解得a1=

5×2k-5

3

，或a₁=5×2^m+k，因為{a_n}的各項均為正整數，m，k∈正整數，所以k=2時，a₁有最小值a1=

5×4-5

3

=5．
當a₁=1時，a₂=3×1+5=8，a3=

8

23

=1，a₄=3×1+5=8，a5=

8

23

=1，…，所以{a_n}是周期為2的周期數列，
它的奇數項是1，偶數項是8，由此能求出S₁+S₂+…+S₂₀．

解答：解：∵數列{a_n}的各項均為正整數，
an+1=

3an+5  an為奇數 an 2k    an為偶數．其中k為使an+1為奇數的正整數

，
當a₃=5時，

a2

2k

=5，
∴a₂=5×2^k=3×a₁+5，或a₂=5×2^k=

a1

2m

，
∴a1=

5×2k-5

3

，或a₁=5×2^m+k，
∵{a_n}的各項均為正整數，m，k∈正整數，
∴k=2時，a₁有最小值a1=

5×4-5

3

=5．
當a₁=1時，
a₂=3×1+5=8，
a3=

8

23

=1，
a₄=3×1+5=8，
a5=

8

23

=1，
…
∴{a_n}是周期為2的周期數列，
它的奇數項是1，偶數項是8，
∴S₁+S₂+…+S₂₀=1+（1+8）+（1×2+8）+（1×2+8×2）+（1×3+8×2）+（1×3+8×3）+…+（1×10+8×9）+（1×10+8×10）=910．
故答案為：5，910．

點評：本題考查數列的遞推公式的性質和應用，當a₃=5時，求a₁的最小值借助遞推公式進行計算；當a₁=1時，求S₁+S₂+…+S₂₀．解題時分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，仔細觀察能夠發現{a_n}是周期為2的周期數列，它的奇數項是1，偶數項是8，借助數列的周期性進行求解．