Question

【題目】已知， 分別是橢圓： （）的左、右焦點，離心率為， ， 分別是橢圓的上、下頂點， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過作直線與交于， 兩點，求三角形面積的最大值（是坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據離心率為， ，列出關于 、 、的方程組，結合性質 ，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）直線斜率存在，設其方程為.，直線方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理，弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式將角形面積用 表示，利用基本不等式 即可得結果.

試題解析：（1）由題知， ， ， ，

∴，∴，①

∵，∴，∴，②

①②聯立解得， ，∴橢圓的方程為．

（2）設， ，顯然直線斜率存在，設其方程為，

代入，整理得，

則，即， ， ，

，

所以到的距離，

所以三角形面積 ，

設，所以，

當且僅當，即，即，即時取等號，

所以面積的最大值為．

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.