Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16．

（1）求數列{an}的前n項和Sn；

（2）設Tn＝(－1)iai，若對一切正整數n，不等式 λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 恒成立，求實數 λ 的取值范圍；

（3）是否存在正整數m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，Sn ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在

【解析】分析：（1）根據等差通項列式先求出首先和公差即可；（2）因為有(－1)n＋1an，所以要分奇偶：①當n為偶數時，設n＝2k，k∈N*，則T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，從而λ＜．分析其最小值即可；②當n為奇數時，設n＝2k－1，k∈N*，則T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，從而λ＞－4k．分析其最大值即可，綜合即可得出結論；（3）)假設存在正整數m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數列，則(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，分解因式找出矛盾即得出不存在.

詳解：

(1)設數列{an}的公差為d．

因為2a5－a3＝13，S4＝16，

所以解得a1＝1，d＝2，

所以an＝2n－1，Sn ＝n2．

(2)①當n為偶數時，設n＝2k，k∈N*，

則T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，從而λ＜．

設f(k)＝，則f(k＋1)－f(k)＝－＝．

因為k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是遞增的，所以f(k)min＝2，

所以λ＜2．

②當n為奇數時，設n＝2k－1，k∈N*，

則T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，

從而λ＞－4k．

因為k∈N*，所以－4k的最大值為－4，所以λ＞－4．

綜上，λ的取值范圍為－4＜λ＜2．

(3)假設存在正整數m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數列，

則(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，

所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，

即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．

因為n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．

因為2n－m2＋2是整數，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，

故不存在正整數m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數列．