Question

（本題滿分10分）已知函數．

 （I）討論的單調性；

 （II）設，證明：當時，；

 （III）若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，

     證明：（x₀）＜0．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調增加，在單調減少；（2）當，（3）見解析.

【解析】第一問利用導數求解得到。

（I） 

   （i）若單調增加.

   （ii）若且當

所以單調增加，在單調減少.

第二問中，構造函數設函數則   

結合導數得到單調性判定進而求解。

第三問中，由（I）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，

故，從而的最大值為

解：（I） 

   （i）若單調增加.

   （ii）若且當

所以單調增加，在單調減少.  ………………3分

（II）設函數則   

當.

故當，   ………………6分

（III）由（I）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，

故，從而的最大值為

不妨設  

由（II）得從而

由（I）知，   ………………10分