Question

【題目】已知增函數y=f（x）的定義域為（0，+∞）且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求滿足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范圍．

Answer 1

【答案】解：由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x﹣3）≤2等價于
f（x）+f（x﹣3）≤f（4），
因為f（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]，
所以f[x（x﹣3）]≤f（4）．
又因為y=f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
所以x＞0，x﹣3＞0，且x（x﹣3）≤4，
解得：3＜x≤4．
故滿足的實數x的取值范圍是（3，4]
【解析】由條件求出f（4）=2，再將f（x）+f（x﹣3）≤2轉化為f[x（x﹣3）]≤f（4），由單調性得到x＞0，x﹣3＞0，且x（x﹣3）≤4，求出交集即可．