Question

盒子內有相同的白球和紅球，任意摸了一個球是紅球的概率為0.1，每次摸出球后都放回盒子內．
（1）摸球5次，求僅出現一次紅球的概率（保留2位有效數字）；
（2）摸球3次，出現X次紅球，寫出隨機變量X的分布列，并求X的均值和方差；
（3）求從第一次起連續摸出白球數不小于3的概率．

Answer 1

解：（1）P=C₅¹（0.1）（1-0.1）⁴=0.32508≈0.33．（2分）
（2）X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	C30（0.9）3	C31（0.1）（0.9）2	C32（0.1）2（0.9）	C33（0.1）3

EX=3×0.1=0.3；
DX=3×0.1×0.9=0.27．（5分）
（3）設事件{η=k}表示連續出現了k-1個白球，且第k個是紅球，得：
P（η=1）=0.1，
P（η=2）=（1-0.1）×0.1=0.09，
P（η=3）=（1-0.1）²×0.1=0.081
因為P（η＞3）=1-P（η≤3），所以
P（η＞3）=1-[P（η=1）+P（η=2）+P（η=3）]
=1-（0.1+0.09+0.081=0.7290，
所以事件“連續出現白球的個數不小于3”的概率為0.729．
分析：（1）直接根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率的公式進行求解即可；
（2）根據題意可知X=0、1、2、3，然后分別求出X對應的概率，列出分布列，然后根據數學期望公式和方差公式進行求解即可；
（3）設事件{η=k}表示連續出現了k-1個白球，且第k個是紅球，求出P（η=1），P（η=2），P（η=3），然后根據（η＞3）=1-P（η≤3），則P（η＞3）=1-[P（η=1）+P（η=2）+P（η=3）]求出所求．
點評：本題考查古典概型，考查離散型隨機變量的分布列，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題，注意解題的格式，遇到這種問題一定要得全分．