Question

某學校課題小組為了研究學生的數學成績與物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績（滿分100分）如下表所示：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數學成績	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理成績	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

若單科成績85分以上（含85分），則該科成績為優秀．
（1）根據上表完成下面的2×2列聯表（單位：人）：

	數學成績優秀	數學成績不優秀	合計
物理成績優秀
物理成績不優秀
合計			20

（2）根據題（1）中表格的數據計算，有多大的把握，認為學生的數學成績與物理成績之間有關系？
（3）若從這20個人中抽出1人來了解有關情況，求抽到的學生數學成績與物理成績至少有一門不優秀的概率．
參考數據：
①假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x₁，x₂}和{y₁，y₂}，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：

	y1	y2	合計
x1	a	b	a+b
x2	c	d	c+d
合計	a+c	b+d	a+b+c+d

則隨機變量K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d為樣本容量；
②獨立檢驗隨機變量K²的臨界值參考表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（1）由“單科成績85分以上（含85分），則該科成績為優秀”．及已知中高二年級20名學生某次考試成績，我們易得到列聯表的各項數據．
（2）我們可以根據列聯表中的數據，代入公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，計算出k值，然后代入離散系數表，比較即可得到答案．
（3）本小題考查的知識點是古典概型，關鍵是要找出滿足條件抽到的學生數學成績與物理成績至少有一門不優秀的基本事件個數，及總的基本事件的個數，再代入古典概型公式進行計算求解．

解答：（1）解：2×2列聯表為（單位：人）：

（2）解：提出假設H₀：學生數學成績與物理成績之間沒有關系．
根據列聯表可以求得K2=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802＞7.879．
當H₀成立時，P（K²＞7.879）=0.005．
所以我們有99.5%的把握認為：學生的數學成績與物理成績之間有關系．
（3）解：由（1）可知數學成績與物理成績都優秀的學生的人數為5人，
則數學成績與物理成績至少有一門不優秀的學生人數為15人．
故從20名學生中抽出1名，抽到的學生數學成績與物理成績至少有一門不優秀的概率為

15

20

=

3

4

．

點評：本小題主要考查獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應用和概率等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識．