Question

設同時滿足條件：①；②b_n≤M（n∈N₊，M是與n無關的常數）的無窮數列{b_n}叫“嘉文”數列．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：（a為常數，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設，若數列{b_n}為等比數列，求a的值，并證明此時為“嘉文”數列．

Answer 1

解：（1）因為，所以a₁=a
當n≥2時，，即{a_n}以a為首項，a為公比的等比數列．
∴； …（4分）
（2）由（1）知，，
若{b_n}為等比數列，則有，而b₁=3，，
故，解得…（7分）
再將代入得：，其為等比數列，所以成立…（8分）
由于①…（10分）
（或做差更簡單：因為，所以也成立）
②，故存在；
所以符合①②，故為“嘉文”數列…（12分）
分析：（1）當n≥2時，，從而可得{a_n}以a為首項，a為公比的等比數列，由此可求{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{b_n}的通項，利用{b_n}為等比數列，可求a的值；驗證“嘉文”數列的兩個條件，即可證得．
點評：本題考查等比數列的定義與通項，考查新定義，解題的關鍵是理解新定義，正確運用新定義，屬于中檔題．