Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=1，D₁是線段A₁B₁上一動點（可以與A₁或B₁重合）．過D₁和CC₁的平面與AB交于D．
（1）若四邊形CDD₁C₁總是矩形，求證：三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱；
（2）在（1）的條件下，求二面角B-AD₁-C的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用四邊形CDD₁C₁總是矩形，證明CC₁⊥平面ABC即可；
（2）求出平面BAD₁、平面ACD₁的一個法向量，再利用向量的夾角公式，我們可以求出二面角B-AD₁-C的取值范圍．
解答：（1）證明：∵D₁是線段A₁B₁上一動點（可以與A₁或B₁重合）．過D₁和CC₁的平面與AB交于D，四邊形CDD₁C₁總是矩形，
∴CC₁⊥平面ABC
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱…（5分）；
（2）解：建立如圖所示的直角坐標系，則A（0，-，0），C（，0，0），
設D（0，a，0），則D₁（0，a，1），a∈[-，]，
顯然平面BAD₁的一個法向量為，
設平面ACD₁的一個法向量為
∵，
∴
∴
令x=1，∴y=-1，z=
∴平面ACD₁的一個法向量，于是，
設二面角B-AD₁-C的平面角為θ，∴cosθ=═
∵，²=2+（a+）²∈[2，5]，
∴cosθ∈[，]，
所以θ∈[arccos，]…（12分）
點評：三棱柱為直棱柱的條件是側棱與底面垂直，（2）問研究二面角的平面角，利用向量的方法，減少了輔助線的添加，將立體幾何問題代數化，屬于中檔題．