Question

已知函數的定義域為，對定義域內的任意x，滿足，當時，（a為常），且是函數的一個極值點，
(1)求實數a的值；
(2)如果當時，不等式恒成立，求實數m的最大值；
(3)求證：

Answer 1

(1)；(2)2；(3)詳見解析.

試題分析：(1)利用為奇函數，所以設，利用，求出時的，然后再求時的，再根據，求出，驗證所求能夠使是函數的一個極值點；(2)不等式恒成立，轉化為恒成立，設，即求的最小值，求,再設,易求,當時，為增函數，最小， ，即逐步分析為單調遞增函數，從而求得最小值.(3)通過代入(2)式恒成立不等式，變形放縮后得到,為出現(2)要證形式，所以令,則,然后將k=1,2,  n,代入上式，累加，從而得出要證不等式.此題綜合性較強.
試題解析：(1)由題知對定義域內任意，，為奇函數，
當時，，，
當時，
由題知：，解得，經驗證，滿足題意.
(2)由(1)知
當時，，令
則時，恒成立，轉化為在恒成立.

令，，則，
當時，，在上單調遞增.

當時，，在單調遞增.

則若在恒成立，則
的最大值2.
(3)由(2)知當時，有，即
則
令，則
當時，；當時，；當時，；
當時，
將以上不等式兩端分別相加得：

即.