Question

對于定義在R上的函數f（x），有下述四個命題；
①若f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；
②若對x∈R，有f（x+1）=f（x-1），則y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）為偶函數；
④函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確命題為

①③

．

Answer 1

分析：利用函數的性質對①②③④四個選項逐個判斷即可．

解答：解：①，∵f（x）是奇函數，
∴f（x）的圖象關于原點成中心對稱，而y=f（x-1）的圖象是將y=f（x）得圖象向右平移一個單位，
f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱，故①正確；
②，對x∈R，有f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），則y=f（x）的圖象不關于直線x=1對稱，即②錯誤；
③，若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，
則函數f（x）的圖象關于直線x=0即y軸對稱，
∴f（x）為偶函數，③正確；
對于④，不妨令f（x）=x，則f（1+x）=1+x，f（1-x）=1-x，二者圖象關于x=0對稱，故④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的性質地綜合應用，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題．