Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4+5cost y=5+5sint

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去t，化為直角坐標(biāo)方程．再根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ 化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組求得C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4+5cost y=5+5sint

（t為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去t，
化為直角坐標(biāo)方程為 （x-4）²+（y-5）²=25．
再根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ 化為極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
（Ⅱ）∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，即x²+（y-1）²=1．
由

(x-4)2+(y-5)2=25 x2+(y-1)2=1

，求得

x=1 y=1

，或 

x=0 y=2

，
故C₁與C₂交點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為（1，1）、（0，2），
故C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）為 （

2

，

π

4

）、（2，

π

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，利用了公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，屬于基礎(chǔ)題．