Question

已知數列a₁，a₂，…a_n，…和數列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常數，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：先根據a_n=pa_n-1求出a_n的表達式，然后代入n=1，2，3進行求出b₁、b₂、b₃的式子，猜想然后用數學歸納法分3步進行證明．
解答：解：∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
設想
用數學歸納法證明：
當n=2時，，等式成立；
設當n=k時，等式成立，即，
則b_k+1=qa_k+rb_k=，
即n=k+1時等式也成立，
所以對于一切自然數n≥2，都成立．
點評：本題主要考查數列通項公式的求法和數學歸納法的證明．考查綜合運用能力．