Question

已知銳角三角形ABC中內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）設函數f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosω

x

(ω＞0)，且f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理與余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；
（2）化簡函數，利用周期確定ω，進而可得函數的解析式，即可求f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosω

x

=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，
∴T=π
∴

2π

ω

=π
∴ω=2
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）
∴f（A）=

3

sin（2A-

π

3

）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，∴0＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴0＜sin（2A-

π

3

）≤1
∴0＜f（A）≤

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理，考查三角函數的圖象與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．